Pakankama parametro Θ statistika gali surinkti arba apibendrinti visą informaciją, kurią turi atsitiktinio kintamojo X imtis.
Mes žinome, kad statistika yra tikroji imties funkcija. Tai reiškia, kad tam reikalingos tikrosios imties vertės. Iš to, kaip matėme straipsnyje, kuriame apibrėžta statistikos sąvoka, turime užtikrinti, kad statistikas turėtų tam tikrų savybių. Kam reikalauti tokių savybių? Siekiant užtikrinti, kad statistika būtų naudinga mūsų tikslams.
Pakankamumas yra viena iš tų savybių. Daug paprasčiau pasakysime, kad statistikos pakanka, jei ji naudoja visą imties informaciją.
Kaip sužinoti, ar pakanka statistikos?
Logiška, kad kyla klausimas: iš kur aš galiu žinoti, ar T statistika atitinka pakankamumo savybę? Arba kaip aš galiu rasti statistiką, kuri atitinka pakankamumo savybę, jei ji yra. Atsakymas į šiuos du klausimus randamas dviejose teoremose:
- Fisher-Neyman faktoriavimo kriterijus: Šis kriterijus nurodo, kad atsižvelgiant į statistiką T, jei ji atitinka tam tikras sąlygas, tai bus pakankama statistika.
- Darmois teorema: Ši teorema atsako į antrąjį klausimą. Tai reiškia, kad tai leidžia mums rasti pakankamą statistiką atliekant keletą procedūrų.
Pakankamos statistikos pavyzdys
Tarkime, kad norime apskaičiuoti Čilėje gyvenančių šeimų vidutines metines pajamas. Norėdami tai padaryti, atliksime šį procesą:
- Rinkti informaciją (pavyzdį): Kadangi negalime kiekvienos Čilėje gyvenančios šeimos paklausti, kiek jie uždirba per metus, imsime tipišką pavyzdį, pavyzdžiui, iš 1000 šeimų.
- Nustatykite tiriamą atsitiktinį kintamąjį: Tiriamasis atsitiktinis kintamasis yra šeimos pajamos. Taigi: X → Šeimos pajamos
- Pasirinkite tinkamą statistiką: Tinkama statistika vidutinėms pajamoms apskaičiuoti yra ne kas kitas, o X tikėjimas. Kitaip tariant, imties X vidurkis.
- Kaip sužinoti, ar imties vidurkio statistika yra pakankama statistika? Kadangi jau turime matematinę statistikos išraišką, naudosime Fišerio ir Neymano faktoringo kriterijų. Arba, Darmois teorema. Tai šiam tikslui sukurtos formulės.
Pritaikę tinkamus skaičiavimus, darome išvadą, kad imties vidurkio statistika atitinka pakankamumo reikalavimą arba savybę. Užtikrindami, kad ji atitiktų šį reikalavimą, užtikriname, kad ši (statistinė) funkcija, leidžianti sintetinti informaciją (vidutines pajamas), panaudotų visą imtyje esančią informaciją (1 000 šeimų).
Kodėl svarbu naudoti visą pavyzdyje pateiktą informaciją?
Dabar, kai žinome, kad imties vidurkis yra pakankama statistika, laikykime atvejo. Kokia prasmė būtų norėti apskaičiuoti vidutines pajamas remiantis tomis 1000 Čilės šeimų ir kad mes naudojame tik 500 šeimų duomenis?
Žinoma, tai nebūtų prasminga. Norime visos informacijos santraukos. Tai yra tai, ką mes apibrėžėme kaip pakankamą statistiką.