Vektoriaus modulis ir Pitagoro teorema

Vektoriaus modulis yra segmento, orientuoto į erdvę, ilgis, kurį lemia du taškai ir jų tvarka, ilgis.

Kitaip tariant, vektoriaus modulis yra ilgis tarp vektoriaus pradžios ir pabaigos, tai yra, kur prasideda rodyklė ir kur ji baigiasi.

Atsižvelgiant į bet kokį dvimatį vektorių:

Informacija, kurią mums suteikia vektoriaus koordinatės, tai yra vx ir vy, yra jos ilgis x ašiai ir ilgis atitinkamai y ašiai.

Taigi, jei žinome koordinates, galime apskaičiuoti vektoriaus modulį.

Vektoriaus modulis ir Pitagoro teorema

Ar ankstesnis piešinys neprimena geometrinės figūros?

Tiksliai galime įsivaizduoti, kad koordinačių ašys šalia vektoriaus sudaro stačiakampį, kurio pagrindas vx ir aukštis vy. Šį stačiakampį galime padalinti į du simetriškus trikampius, tai yra, jų abiejų pagrindas ir aukštis bus vienodi.

Mėlynai šešėliuotas trikampis turi vx pagrindą ir vy aukštį. Taigi, žinodami šią informaciją, galime žinoti jos hipotenuzą. Šiems skaičiavimams naudojama labai garsi teorema, žinoma kaip Pitagoro teorema.

Demonstracija

Mes žinome, kad Pitagoro formulė yra tokia:

Kur h yra hipotenuzė, c yra viena koja ir c yra kita koja.

Mūsų atveju mes žinome, kiek verta mūsų kojos, kitaip tariant, pagrindas ir aukštis. Taigi, mes galime prijungti šią informaciją prie lygties:

Mes pašaliname h kvadratą, pritaikydami kvadratinę šaknį:

Jei sakome, kad vx = 3 ir vy = 6:

Todėl, jei v būtų vektorius su koordinatėmis (3,6), tada žinotume, kad jo modulis yra 6,7082. Tiksliai, jo modulis, nes bet kurio vektoriaus v modulio formulė yra:

Matome, kad būtent ta informacija, kurios mums trūksta lygtyje, sutampa su hipotenuse. Kitaip tariant, vektoriaus ilgį norime apskaičiuoti, o hipotenuzė yra trikampio įstrižainė. Todėl galime daryti išvadą, kad Pitagoro teoremos naudojimas vektoriaus moduliui apskaičiuoti yra tinkamas metodas.

Taigi, jei mums reikia apskaičiuoti vektoriaus modulį ir neprisimename formulės, galime pagalvoti apie Pitagoro teoremą ir išspręsti problemą.

Mankšta išspręsta

Apskaičiuokite vektoriaus v modulį koordinatėmis (-3, -6) taikydami Pitagoro teoremą.

Vektoriaus v modulis su koordinatėmis (-3,6), apskaičiuotas pagal Pitagoro teoremos formulę, taip pat yra 6,7082.