Tayloro polinomas - kas tai, apibrėžimas ir sąvoka
Tayloro polinomas yra funkcijos polinomasn kartų, išvedamų konkrečiame taške.
Kitaip tariant, Tayloro polinomas yra vietinių darinių galutinė suma, įvertinta konkrečiu tašku.
Matematiškai
Mes apibrėžiame:
f (x): funkcija x.
f (x0): funkcijaxtam tikrame taške x0. Formaliai parašyta:
Fn)(x):n-tasis funkcijos f (x) darinys.
Programos
Tayloro plėtra paprastai taikoma finansiniam turtui ir produktams, kurių kaina išreiškiama kaip netiesinė funkcija. Pavyzdžiui, trumpalaikio skolos vertybinio popieriaus kaina yra nelinijinė funkcija, kuri priklauso nuo palūkanų normų. Kitas pavyzdys būtų variantai, kai ir rizikos veiksniai, ir pelningumas yra nelinijinės funkcijos. Ryšio trukmės apskaičiavimas yra pirmojo laipsnio Tayloro polinomas.
Tayloro daugianario pavyzdys
Mes norime rasti antrąją Tayloro funkcijos f (x) aproksimacijos tvarką taške x0=1.
1. Padarome atitinkamus funkcijos f (x) darinius.
Tokiu atveju jie klausia mūsų iki antros eilės, todėl atliksime pirmąjį ir antrąjį funkcijos f (x) išvestinius:
- Pirmasis darinys:
- Antrasis darinys:
2. Pakeičiame x0= 1 f (x), f '(x) ir f' '(x):
3. Kai darysime išvestinių vertę taške x0= 1, mes pakeičiame jį Tayloro apytikslėje reikšmėje:
Mes šiek tiek pataisome polinomą:
Tikrinamos vertės
Tayloro aproksimacija bus tinkama, tuo arčiau x0 būti vertybėmis. Norėdami tai patikrinti, pakeisime reikšmes, artimas x0 tiek pradinėje funkcijoje, tiek aukščiau esančiame Tayloro derinyje:
Kai x0=1
Originali funkcija:
Tayloro apytikslis:
Kai x0=1,05
Originali funkcija:
Tayloro apytikslis:
Kai x0=1,10
Originali funkcija:
Tayloro apytikslis:
Pirmuoju atveju, kai x0= 1, matome, kad tiek pradinė funkcija, tiek Tayloro aproksimacija duoda tą patį rezultatą. Taip yra dėl Tayloro polinomo, kurį sukūrėme naudodami vietinius darinius, sudėtį. Šie dariniai buvo įvertinti tam tikrame taške x0= 1, norint gauti vertę ir sukurti polinomą. Taigi kuo toliau nuo to konkretaus taško, x0= 1, tuo mažiau tikslinga bus pritaikyti pradinei netiesinei funkcijai. Tais atvejais, kai x0= 1,05 ir x0= 1,10, yra reikšmingas skirtumas tarp pradinės funkcijos rezultato ir Tayloro aproksimacijos.
Bet … skirtumas yra labai mažas, ar ne?
Tayloro daugianario atvaizdavimas
Jei išplėsime kraštutinumus (kai aproksimacija nutolsta nuo x0=1):
Iš pirmo žvilgsnio tai gali atrodyti nereikšminga, bet kai mes dirbame su grafiku ir darome apytikslius duomenis, labai svarbu atsižvelgti bent į pirmąsias keturias dešimtaines dešimtaines dalis. Aproksimacijų pagrindas yra tikslumas.
