Nustatyti algebrą - kas tai yra, apibrėžimas ir sąvoka

Rinkinių algebra yra matematikos ir logikos studijų sritis, orientuota į operacijas, kurias galima atlikti tarp rinkinių.

Aibės algebra yra dalis to, ką mes žinome kaip aibės teoriją.

Reikėtų prisiminti, kad rinkinys yra įvairių rūšių elementų, tokių kaip raidės, skaičiai, simboliai, funkcijos, geometrinės figūros, grupavimas.

Nustatyti operacijas

Pagrindinės operacijos su rinkiniais yra šios:

Sąjunga: Dviejų ar daugiau rinkinių sąjungoje yra visi elementai, priklausantys bent vienam iš šių rinkinių. Tai rodo raidė U.

A = (9,34,57,6,9)

B = (10,41,57,9,16)

AUB = (9,34,57,6,9,10,41,16)

Sankryža: Dviejų ar daugiau aibių susikirtimas apima elementus, kuriuos šie rinkiniai dalijasi. Tai rodo apverstas U (∩). Pavyzdys:

A = (a, r, t, i, c, o)

B = (i, n, d, i, c, o)

A∩B = (i, c, o)

Skirtumas: Vieno rinkinio skirtumas kito atžvilgiu yra lygus pirmojo rinkinio elementams, atėmus antrojo elementus. Tai žymima simboliu arba -. Žiūrėjo kitu būdu, x ∈ a A B, jei x ∈ A, bet x ∉ B. Pavyzdys:

A = (21,34,56,17,7)

B = (78,21,17,36,80)

A-B = (34,56,7)

Papildyti: Aibės papildas apima visus elementus, kurių nėra tame rinkinyje (bet kurie priklauso kitam visuotiniam atskaitos rinkiniui). Tai rodo viršutinis indeksas C. Pavyzdys:

A = (3,9,12,15,18)

U (Visata) = visi 3 kartotiniai, kurių sveiki natūralieji skaičiai yra mažesni nei 30.

Į^C=(6,21,24,27)

Simetrinis skirtumas: Simetrinis dviejų rinkinių skirtumas apima visus elementus, kurie yra viename ar kitame, bet ne abu tuo pačiu metu. Tai yra, aibių sąjunga atėmus jų sankirtą. Jo simbolis yra Δ. Pavyzdys:

A = (17.81.99.131.65.32)

B = (11.54.71.65.99.27)

AΔB = (17,81,131,32,11,54,71,27)

Dekarto produktas: Tai operacija, kurios rezultatas yra naujas rinkinys, kuriame kaip elementai yra sutvarkytos poros arba elementų, kurie priklauso dviem ar daugiau rinkinių, rinkiniai. Jos yra poros, jei tai yra du rinkiniai, ir poros, jei turime daugiau nei du rinkinius. Pavyzdys:

A = (8,15,6,51)

B = (x, y)

AxB = ((8, x), (8, y), (15, x), (15, y), (6, x), (6, y), (51, x), (51, y) )

BxA = ((x, 8), (x, 15), (x, 6), (x, 51), (y, 8), (y, 15), (y, 6), (y, 51) )

Aibės algebros dėsniai

Nustatytos algebros dėsniai yra šie:

Vidutiniškumas: Aibės susikirtimas arba susikirtimas su savimi lemia tą patį rinkinį:

XUX = X

X∩X = X

Komutacinis: Veiksnių tvarka nekeičia rezultato, kai nustatoma rinkinių jungtis ar sankirta:

XUY = XUY

X∩Y = X∩Y

Skirstomasis: X aibės jungtis su kitų dviejų Y ir Z aibių susikirtimu yra lygi X ir Y jungties su X ir Z susikirtimu. Tai yra:

XU (Y∩Z) = (XUY) ∩ (XUZ)

Be to, tas pats pasakytina, jei pakeičiame operacijų tvarką:

X∩ (YUZ) = (X∩Y) U (X∩Z)

Asociatyvus: Kelių aibių sąjungos ar sankirtos operacijos sąlygas galima sugrupuoti neaiškiai, visada gaunant tą patį rezultatą:

XU (XUY) = (XUY) UZ

X∩ (X∩Y) = (X∩Y) ∩Z

Morgano įstatymas: Dviejų aibių sąjungos papildymas yra lygus jų papildų susikirtimui, o dviejų aibių susikirtimo papildas yra lygus jų papildų susiliejimui.

(XUY)^C= X^C∩Y^C

(X∩Y)^C= X^CUy^C

Skirtumo įstatymas: Vieno rinkinio skirtumas kito atžvilgiu yra lygus pirmojo sankirtai su antrojo papildymu:

(X-Y) = X∩Y^C

Papildyti įstatymus:
- Rinkinio ir jo papildo sąjunga nėra lygi visuotinei aibei. XUX^C= U
- Rinkinio susikirtimas su jo papildymu yra lygus nulinei arba tuščiai aibei. X∩X^C=∅
- Aibės X komplemento komplementas yra lygus aibei X. (X^C)^C= X
- Universaliojo rinkinio papildymas yra lygus nuliui arba tuščiam rinkiniui. X^C=∅
- Tuščios aibės papildas yra lygus visuotiniam rinkiniui. ∅^C= U