Sankt Peterburgo paradoksas yra paradoksas, kurį pastebėjo Nicolaus Bernoulli ir kuris turi savo priežastį lošti. Šis paradoksas byloja, kad sprendimų teorijoje priimami visi statymai, neatsižvelgiant į jų vertę, net jei minėta vertė rodo, kad tai nėra racionalus sprendimas.
Sankt Peterburgo paradoksas, mums teisingai jį suprantant, buvo paradoksas, kurį aprašė Nicolaus Bernoulli, stebėjęs lošimus, todėl šis paradoksas ir egzistuoja.
Žaidimų teorijaŠia prasme paradoksas byloja, kad suformuluotų sprendimų teorija mums parodo, kad racionalus sprendimas lažybų žaidime yra viskas, neatsižvelgiant į sumą, kurią numato kiekvienas statymas. Tačiau teisingai išanalizavę šią situaciją ir tiksliai laikydamiesi teorijos pastebime, kad nė viena racionali būtybė nepasirinktų priimti sprendimo statyti pinigų sumą, artimą begalybei, nors teorija rodo, kad ji yra racionali. Dėl šios priežasties kyla paradoksas.
Iš pradžių paradoksą pastebi Nicolaus Bernoulli, kaip matyti iš jo laiško, kurį jis 1713 m. Rugsėjo 9 d. Atsiuntė prancūzų aristokratui ir matematikui Pierre'ui de Montmortui.
Tačiau kadangi Nicolauso tyrimas nedavė rezultatų, jis paradoksą pateikė savo pusbroliui Danieliui Bernoulli 1715 m., Olandų kilmės matematikui ir Bazelio universiteto rektoriui, kuris, susitikęs Sankt Peterburge su žymia mokslininkų grupe, ir po to metų mokslinių tyrimų, 1738 m. paskelbė naują matavimo sistemą savo darbe „Naujos rizikos matavimo teorijos pristatymas“.
Danieliaus siūlomas modelis, skirtingai nei Nicolauso, sukuria pagrindus tam, kas vėliau išgrynins ir užbaigs numatomo naudingumo teoriją.
Sankt Peterburgo paradoksinė formulė
Nicolaus Bernoulli pusbroliui ir Pierre'ui de Montmortui siūloma formuluotė yra tokia:
Įsivaizduokime lošimo žaidimą, kuriame žaidėjas, aišku, turi sumokėti sumą, kad galėtų dalyvauti.
Tarkime, žaidėjas lažinasi ant uodegų ir monetą iš eilės meta iki uodegos. Po uodegų žaidimas sustabdomas ir žaidėjas gauna $ 2 n.
Taigi, jei uodega, žaidėjas pirmiausia laimi 2 1, tai yra 2 USD. Bet jei vėl uodegos, gaus 2 2, tai yra 4 USD, ir pan. Jei jis vėl pasirodys, tai bus 8 doleriai, o tai atitinka 2 3 ekvivalentą; tuo tarpu, jei pasirodys ketvirtą kartą, prizas bus 16 dolerių, o tai bus 2 4 simbolis.
Taigi, Nicolaus klausimas buvo toks: atsižvelgiant į aukščiau paminėtą seką ir pelną, kiek žaidėjas būtų pasirengęs sumokėti už šį žaidimą neprarasdamas racionalumo?
Sankt Peterburgo paradokso pavyzdys
Atsižvelgdami į Nikolajaus pasiūlytą formuluotę ir abejonę, kurią jis kėlė prancūzų matematikui ir jo pusbroliui, pažiūrėkime šio paradokso priežastį, kad suprastume, ką turime omenyje.
Visų pirma turime žinoti, kad prieš prasidedant žaidimui turime begalę galimų rezultatų. Na, net jei tikimybė yra 1/2, uodegos gali pasirodyti tik 8-ame ritinyje.
Todėl tikimybė, kad šis kryžius pasirodys metant k, yra:
Pk = 1 / 2k
Be to, pelnas yra 2 tūkst.
Tęsiant plėtrą, pirmosios 1-ojo ritinio uodegos pristato 21 (2 USD) ir 1/2 tikimybė. Antrojo bandymo uodegos turi 2 padidėjimą2 (4 doleriai) ir 1/2 tikimybė2; Tuo tarpu, jei trečiu bandymu uodega, žaidėjas turi 2 pergalę3 (8 USD) ir 1/2 tikimybė3. Kaip matome, santykiai tęsiasi tol, kol pridedame bėgimus.
Prieš tęsdami, reikia pažymėti, kad sprendimų teorijoje matematinius lūkesčius (EM) arba laukiamą žaidimo laimėjimą vadiname prizų suma, susieta su kiekvienu iš galimų žaidimo rezultatų, ir visus juos sveria tikimybė, kad atsiras kiekvienas iš šių rezultatų.
Jei atsižvelgsime į požiūrį, kuris rodo šį paradoksą, matome, kad žaidžiant tikimybė laimėti 2 dolerius yra 1/2, bet, be to, tikimybė laimėti 4 yra 1/4, o laimėjimo 8 dolerių tikimybė yra 1/8. Tai, kol nepasieksime tokių situacijų kaip 64 dolerių laimėjimas, tikimybė, kad ši byla bus 1/64.
Taigi, gavę šiuos rezultatus, jei apskaičiuojame matematinį lūkestį arba tai, ką žinome kaip laukiamą žaidimo laimėjimą, turime pridėti visų galimų rezultatų laimėjimus, įvertintus jų atsiradimo tikimybe, taigi rezultatas mums rodo begalinį skaičių vertė.
Jei laikysimės pasirinkimo teorijos, ji mums sako, kad turėtume statyti bet kokią sumą už paprastą faktą, kad kiekvienas sprendimas yra mums palankus. Dabar faktas, kad tai paradoksas, yra todėl, kad, racionaliai vertinant, žaidėjas nestos statymų neribotą laiką, net jei teorija jį verčia tai daryti.
Ryškus paradoksas
Daugelis buvo matematikai, kurie bandė iššifruoti Bernoulli pasiūlytą paradoksą, tačiau yra ir tokių, kurie nesugebėjo to išspręsti.
Taigi yra daugybė pavyzdžių, kurie mums parodo, kaip paradoksą bandė išspręsti matematikai, kurie atkreipė dėmesį ir į žaidimo struktūrą, ir į pačių asmenų sprendimus. Tačiau iki šiol vis dar negalime rasti tinkamo sprendimo.
Ir tai yra tai, kad norėdami suprasti šio paradokso sudėtingumą, atsižvelgdami į šio pavyzdžio pasirinkimo teoriją, mes apskaičiuojame, kad galimas prizas po skaičiavimo yra begalinis monetų skaičius, kuris net darant prielaidą, kad tai įmanoma, tai būtų nesuderinama su pačia pinigų sistema, nes tai yra pinigai, kurie, priešingai nei sako paradoksas, yra riboti.
