Linijinis vektorių derinys įvyksta, kai vektorių galima išreikšti kaip linijinę kitų vektorių, kurie yra tiesiškai nepriklausomi, funkciją.
Kitaip tariant, linijinis vektorių derinys yra tas, kad vektorių galima išreikšti kaip linijinį kitų vektorių, kurie yra tiesiškai vienas nuo kito nepriklausomi, derinį.
Reikalavimai linijiniam vektorių deriniui
Linijinis vektorių derinys turi atitikti du reikalavimus:
- Kad vektorius gali būti išreikštas linijiniu kitų vektorių deriniu.
- Tegul šie kiti vektoriai yra tiesiškai vienas nuo kito nepriklausomi.
Tiesinis derinys skaičiavime
Pagrindinėje matematikoje esame įpratę dažnai matyti linijines kombinacijas to nesuvokdami. Pavyzdžiui, eilutė yra vieno kintamojo derinys kito atžvilgiu, toks:
Tačiau šaknys, logaritmai, eksponentinės funkcijos … nebėra tiesiniai deriniai, nes proporcijos nelieka pastovios visai funkcijai:
Taigi, jei mes kalbame apie linijinį vektorių derinį, lygties struktūra bus tokia:
Kadangi mes kalbame apie vektorius ir ankstesnė lygtis nurodo kintamuosius, norėdami sukurti vektorių kombinaciją, mes turime tik pakeisti kintamuosius vektoriais. Tegul yra šie vektoriai:
Taigi, galime juos parašyti tiesiniu deriniu taip:
Vektoriai yra linijiškai nepriklausomi vienas nuo kito.
Graikiškas laiškas lambda veikia kaip parametras m bendrojoje tiesės lygtyje. Lambda bus bet koks tikrasis skaičius ir, jei jis neatsiras, sakoma, kad jo vertė lygi 1.
Tai, kad vektoriai yra tiesiškai nepriklausomi, reiškia, kad nė vienas iš vektorių negali būti išreikštas linijiniu kitų deriniu. Yra žinoma, kad nepriklausomi vektoriai sudaro erdvės pagrindą, o priklausomas vektorius taip pat priklauso tai erdvei.
Gretasienio pavidalo pavyzdys
Manome, kad turime tris vektorius ir norime juos išreikšti tiesiniu deriniu. Mes taip pat žinome, kad kiekvienas vektorius kilęs iš tos pačios viršūnės ir sudaro tos viršūnės abscisę. Geometrinė figūra yra gretasienis. Kadangi jie mums praneša, kad geometrinė figūra, kurią sudaro šie vektoriai, yra gretasienio abscisė, vektoriai riboja figūros veidus.
Pirma, mes turime žinoti, ar vektoriai yra tiesiškai priklausomi. Jei vektoriai yra tiesiškai priklausomi, tada iš jų negalime suformuoti tiesinės kombinacijos.
Trys vektoriai:
Kaip mes galime žinoti, ar vektoriai yra tiesiškai priklausomi, jei jie mums neteikia informacijos apie savo koordinates?
Na, naudojant logiką. Jei vektoriai būtų tiesiškai priklausomi, tada visi gretasienio kraštai žlugtų. Kitaip tariant, jie būtų vienodi.
Todėl galime išreikšti naują vektorių w dėl linijinio ankstesnių vektorių derinio:
Vektorius, kuris rodo ankstesnių vektorių derinį:
Grafiškai:
