Kombinatorika be pasikartojimo suprantama kaip skirtingi rinkiniai, kuriuos galima suformuoti su «n» elementais, parinktais iš x x x. Kiekvienas rinkinys turi skirtis nuo ankstesnio bent vienu iš jo elementų (tvarka neturi reikšmės) ir jų negalima pakartoti.
Kombinatorika be pasikartojimo dažniausiai naudojama statistikoje ir matematikoje. Tai tinka daugeliui realaus gyvenimo situacijų, ir ją taikyti yra gana paprasta.
Paimkime, pavyzdžiui, studentą, kuris turi 4 klausimų egzaminą. Iš 4 klausimų jis turi pasirinkti tris: kiek skirtingų derinių studentas galėtų padaryti? Jei šiek tiek samprotautume, pamatytume (iš tikrųjų netaikydami formulės), kad studentas galėtų pasirinkti, kaip atsakyti į 3 klausimus keturiais skirtingais būdais.
- 1 rinkinys / variantas: atsakykite į 1,2,3 klausimus.
- 2 rinkinys / variantas: atsakykite į klausimus, 1,2,4.
- 3 rinkinys / variantas: atsakykite į klausimus, 1,3,4.
- 4 rinkinys / variantas: atsakykite į klausimus 2,3,4.
Kaip matome, studentas gali suformuoti 4 rinkinius (n) iš 3 elementų (x). Todėl kombinatorika be pasikartojimo mums nurodo, kaip suformuoti arba sugrupuoti baigtinį duomenų / stebėjimų kiekį tam tikro kiekio grupėse, nė vienam iš elementų negalint pakartoti kiekvienoje grupėje. Tai yra pagrindinis skirtumas tarp kombinatorinio su kartojimu (elementai kiekvienoje grupėje gali būti kartojami) ir kombinatorinio be pasikartojimo (kiekvienoje grupėje negalima kartoti nė vieno elemento)
Šiame pavyzdyje norėčiau pabrėžti, kad tai yra kombinatorikos atvejis be pasikartojimo, nes studentas negali pasirinkti užduoti kurio nors iš klausimų daugiau nei vieną kartą. Todėl rinkinių elementai negali būti kartojami.
Ankstesniu atveju, atsižvelgiant į tai, kad bendras elementų skaičius yra nedidelis, o rinkinio kiekis yra didelis, variantų skaičius yra nedidelis ir juos galima lengvai išskaičiuoti netaikant formulės. Jei taikytume formulę tiesiogiai, skaitiklis būtų 24 (4 * 3 * 2 * 1), o vardiklis būtų 6 (3 * 2 * 1 * 1), su kuriais gautume skaičiavimą tokiu pačiu būdu negalvodami, kaip tuos keturis klausimus galėtume sugrupuoti į trijų grupes.
Kaip apskaičiuoti kombinatoriką be pasikartojimo?
Kombinatoriaus formulė be pasikartojimo yra:
Kur:
- n = Iš viso stebėjimų
- x = Pasirinktų elementų skaičius
Pavyzdys kombinatorinis be pasikartojimo
Įsivaizduokime 12 karių karinį būrį. Kariuomenės kapitonas nori sudaryti 2 karių grupes, kurios galėtų prasiskverbti už priešo linijų skirtinguose taškuose. Kiek skirtingų grupių jis galėtų sudaryti?
Norėdami išspręsti problemą, pirmiausia turime nustatyti bendrą elementų skaičių. Šiuo atveju iš viso yra 12 karių, todėl mes jau turime savo n. Kadangi kapitonas nori dviejų grupių, mes jau žinome, kas yra mūsų x. Tai žinodami, formulėje galėtume pakeisti ir turėti grupių skaičių 2.
- n = 12
- x = 2
Keičiant:
Taikydami vardiklio faktorių, turėsime 12 * 11 * 10 *… * * = 479,001,600. Vardiklyje turime 2 * 1 * 10 * 9 * 8… * 1 = 7 257 600. Mūsų kombinatorinis skaičius yra = 479 001 600/7 257 600 = 66.
Kaip matome, kapitonas gali suformuoti 66 skirtingas kareivių poras iš 12 turimų.