Čebyševo nelygybė - kas tai yra, apibrėžimas ir sąvoka

Čebyševo nelygybė yra statistikoje naudojama teorema, pateikianti konservatyvų tikimybės, kad atsitiktinis kintamasis, turintis baigtinę dispersiją, įvertinimas (pasikliautinasis intervalas) bus tam tikru atstumu nuo jo matematinio lūkesčio ar jo vidurkio.

Formali jo išraiška yra tokia:

X = numatoma vertė

µ = apskaičiuotos vertės matematinis laukimas

Ϭ = laukiamos vertės standartinis nuokrypis

k = standartinių nuokrypių skaičius

Pradėdami nuo šios bendros išraiškos ir plėtodami dalį, kuri išlieka absoliučios vertės ribose, turėtume:

Jei atkreipsime dėmesį į ankstesnę išraišką, galima pastebėti, kad kairėje esanti dalis yra ne daugiau kaip a pasitikėjimo intervalas. Tai suteikia mums apatinę ir viršutinę numatomos vertės ribą. Todėl Čebyševo nelygybė mums nurodo mažiausią tikimybę, kad populiacijos parametras yra tam tikru standartinių nuokrypių skaičiumi, viršijančiu arba mažesnį už jo vidurkį. Arba kitaip tariant, tai suteikia mums tikimybę, kad populiacijos parametras yra tame pasitikėjimo intervale.

Čebyševo nelygybė suteikia apytikslę numatomos vertės ribą. Nepaisant tam tikro netikslumo laipsnio, ji yra labai naudinga teorema, nes ją galima pritaikyti daugybei atsitiktinių kintamųjų, neatsižvelgiant į jų paskirstymą. Vienintelis apribojimas norint naudoti šią nelygybę yra tas, kad k turi būti didesnis nei 1 (k> 1).

Čebyševo nelygybės taikymo pavyzdys

Tarkime, kad esame investicinio fondo valdytojai. Mūsų valdomo portfelio vidutinė grąža siekia 8,14%, o standartinis nuokrypis - 5,12%. Pavyzdžiui, norėdami žinoti, kokia procentinė mūsų grąžos dalis yra mažiausiai 3 standartiniai nuokrypiai nuo vidutinio pelningumo, paprasčiausiai pritaikytume ankstesnę 2 išraiškos formulę.

k = 1,96

K vertės pakeitimas: 1- (1 / (1,96 2)) = 0,739 = 73,9%

Tai reiškia, kad 73,9% rezultatų yra patikimumo intervale, esančiame 1,96 standartinio nuokrypio nuo vidurkio.

Padarykime ankstesnį pavyzdį ne k, o kitoms reikšmėms.

k = 2,46
k = 3

K vertės pakeitimas: 1- (1 / (2,46 2)) = 0,835 = 83,5%

K vertės pakeitimas: 1- (1 / (3 2)) = 0,889 = 88,9%

Yra 83,5% duomenų, kurie yra 2,46 standartinio nuokrypio nuo vidurkio atstumu ir 88,9% yra 3 standartinių vidurkio nuokrypių atstumu.

Naudojant Čebyševo nelygybę, lengva padaryti išvadą, kad kuo didesnė K reikšmė (tuo didesnis įvertintos vertės nuokrypis nuo jos vidurkio), tuo didesnė tikimybė, kad atsitiktinis kintamasis yra ribotame intervale.