Funkcinės lygtys yra tos, kurios turi dar vieną nežinomą funkciją. Funkcija, kurią galima susieti su algebrine operacija, tokia kaip sudėjimas, atimimas, padalijimas, dauginimas, galia ar šaknis.
Funkcines lygtis taip pat galima apibrėžti kaip tas, kurių išsiskyrimas nėra lengvai redukuojamas į algebrinę funkciją, kurios tipas f (x) = 0.
Funkcinės lygtys apibūdinamos todėl, kad nėra vieno būdo jas išspręsti. Be to, aptariamas kintamasis gali turėti skirtingas reikšmes (pamatysime su pavyzdžiais).
Funkcinių lygčių pavyzdžiai
Keletas funkcinių lygčių pavyzdžių:
f (xy) = f (x). f (y)
f (x2+ ir2) = f (xy)2/2
f (x) = f (x + 3) / x
Tokiais atvejais, kaip ankstesni, galima pridėti, pavyzdžiui, kad x priklauso realiųjų skaičių aibei, tai yra, x ∈ R (nulį galima neįtraukti).
Funkcinių lygčių pavyzdžiai
Pažiūrėkime keletą išspręstų funkcinių lygčių pavyzdžių:
f (1 / 2x) = x-3f (x)
Taigi, jei pakeisiu x į 1 / 2x:
f (1/2 (1 / 2x)) = (1 / 2x) -3f (1 / 2x)
f (x) = (1/2x) -3f (1/2x)
f (x) = (1 / 2x) -3 (x-3f (x))
f (x) = (1 / 2x) -3x + 9f (x)
8f (x) = 3x- (1 / 2x)
f (x) = (3/8) x- (1 / 16x)
Pažiūrėkime dar vieną pavyzdį su šiek tiek sunkiau, bet kur mes veiksime panašiai:
x2f (x) -f (5-x) = 3x… (1)
Šiuo atveju pirmiausia išspręskime f (5-x)
f (5-x) = x2f (x) -3x… (2)
Dabar aš pakeisiu x lygiu 5-x 1 lygtyje:
(5-x)2f (5-x) -f (5- (5-x)) = 3 (5-x)
(25–10x + x2). f (5-x) -f (x) = 15-3x
Prisimename, kad f (5-x) yra 2 lygtyje:
(25–10x + x2). (x2f (x) -3x) -f (x) = 15-3x
25x2-75x-10x3f (x) + 30x2+ x4f (x) -3x3-f (x) = 15-3x
f (x) (x4-10x3-1) = 3x3-55x2+ 72 kartus
f (x) = (3x3-55x2+ 72x) / (x4-10x3-1)
Cauchy funkcinė lygtis
„Cauchy“ funkcinė funkcija yra viena iš pagrindinių tokio pobūdžio funkcijų. Ši lygtis yra tokios formos:
f (x + y) = f (x) + f (y)
Darant prielaidą, kad x ir y yra racionaliųjų skaičių aibėje, šios lygties sprendimas mums sako, kad f (x) = cx, kur c yra bet kuri konstanta, ir tas pats atsitinka ir su f (y).