Cholesky skilimas yra speciali LU matricos skaidymo rūšis, kilusi iš anglų žemutinės-viršutinės, kuri susideda iš matricos faktoringo į dviejų ar daugiau matricų sandaugą.
Kitaip tariant, Cholesky skilimas susideda iš matricos, kurioje yra tas pats eilučių ir stulpelių (kvadratinės matricos) skaičius, prilyginimas matricai, kurios nuliai yra virš pagrindinės įstrižainės, padaugintos iš jo matricos, perkeliamos nuliais žemiau pagrindinės įstrižainės.
LU skilimas, skirtingai nei „Cholesky“, gali būti pritaikytas įvairių tipų kvadratinėms matricoms.
Cholesky skilimo charakteristikos
Cholesky skilimą sudaro:
- Viršutinė trikampė kvadratinė matrica: Kvadratinė matrica, kurios žemiau pagrindinės įstrižainės yra tik nuliai.
- Apatinė trikampė kvadratinė matrica: Matrica, kurios virš pagrindinės įstrižainės yra tik nuliai.
Matematiškai, jei egzistuoja teigiama apibrėžta simetriška matrica, IR, tada egzistuoja apatinė trikampė simetriška matrica, K, tos pačios dimensijos kaip IR, kurio rezultatas:
Minėta matrica atrodo kaip E. Cholesky matrica. Ši matrica veikia kaip matricos E kvadratinė šaknis. Mes žinome, kad kvadratinės šaknies sritis yra:
(X ∈ ℜ: x ≥ 0)
Kuris apibrėžiamas visais negatyviaisiais realiaisiais skaičiais. Choleskio matrica, kaip ir kvadratinė šaknis, egzistuos tik tuo atveju, jei matrica bus pusiau teigiama. Matrica yra pusiau teigiama, kai pagrindiniai nepilnamečiai turi teigiamą arba nulinį determinantą.
Cholesky skilimas IR yra įstrižinė matrica, kuri:
Matome, kad matricos yra kvadratinės ir turi nurodytas charakteristikas; nulių trikampis virš pagrindinės įstrižainės pirmojoje matricoje ir nulių trikampis žemiau pagrindinės įstrižainės transformuotoje matricoje.
Cholesky skilimo programos
Finansuose jis naudojamas nepriklausomų normaliųjų kintamųjų realizavimui paversti normaliaisiais, koreliuojančiais pagal koreliacijos matricą. IR.
Jei N yra nepriklausomų normaliųjų (0,1) vektorius, tai reiškia, kad Ñ yra normalų (0,1) vektorius, koreliuojantis pagal IR.
Cholesky skaidymo pavyzdys
Tai yra paprasčiausias Cholesky skilimo pavyzdys, nes matricos turi būti kvadratinės, šiuo atveju matrica yra (2 × 2). Dvi eilutės po du stulpelius. Be to, jis atitinka ypatumus, kai nuliai yra virš ir žemiau pagrindinės įstrižainės. Ši matrica yra pusiau teigiama, nes pagrindiniai nepilnamečiai turi teigiamą determinantą. Mes apibrėžiame:
Sprendimas: c2 = 4; b · c = -2; į2+ b2 = 5; turime keturias galimas Cholesky matricas:
Galiausiai apskaičiuojame, kad surastume (a, b, c). Kai jas rasime, turėsime Cholesky matricas. Skaičiuojama taip:
