Eksponentinė funkcija yra nepertraukiamo sudėties pagrindas, kuris yra rezultatas be galo didėjant (kai p linksta į begalybę) susidomėjimo sudėtiniu junginiu skaičiavimo dažnis.
Kitaip tariant, eksponentinė funkcija yra sudėtinė sudėtis, kai laikotarpiai tarp palūkanų skaičiavimo yra begaliniai (labai maži).
Eksponentinės funkcijos formulė yra:
Nuolatinį jungimą galima išreikšti kaip
Pagrįsti nuolatinės didžiosios raidės ir eksponentinės funkcijos panašumai, tiesa?
Apibrėžiame nuolatinio didžiųjų raidžių kintamuosius:
- Ct + 1: kapitalas metu t + 1 (vėliau).
- Ct: kapitalas metu t (dabartinis).
- it: palūkanų norma metu t.
- p: sudėties dažnis arba periodiškumas.
- t: laikas.
Programos
Finansų srityje mes nuolat randame eksponentinę funkciją nuolatinio būsimų pajamų kapitalizavimo formulėje ir kai kuriose ekonometrinėse regresijose.
Ekonomikoje tai nėra taip populiaru, nes dauguma mikroekonominių ir makroekonominių modelių daro prielaidą, kad mažėja ribinė jų gamybos veiksnių grąža. Taigi jie daro prielaidą, kad veiksniai seka logaritminę grąžą ir todėl grįžta priešingai eksponentinei funkcijai.
Eksponentinės funkcijos pavyzdys
Manome, kad esame amerikiečių investuotojas, norintis pastatyti slidinėjimo trasą Pico Bolívar mieste, Venesueloje. Pradinė investicija yra 100 mln. USD už metinę 100% palūkanų normą. Šis investuotojas turi pakankamai derybinių galių, kad nustatytų palūkanų už jo investicijas apskaičiavimo periodiškumą.
Kokiai alternatyvai amerikiečių investuotojas teiks pirmenybę?
Norėdami atsakyti į klausimą, turėsime laiku apskaičiuoti kapitalą t + 1 (Ct + 1) kurį investuotojas gaus.
Turima informacija:
Ct: 100 mln. USD
it: 100%
t: 1 (metinis)
Ct + 1: ?
| Alternatyvus | Į | B | C | D | IR | F |
| Periodiškumas | 1 | 2 | 50 | 100.000 | 10.000.000 | 1.000.000.000 |
Turimą informaciją pakeičiame dviem formulėmis (funkcija exp. Ir nuolatinis didžiųjų raidžių rašymas)
Duomenis apdorojame vengdami MM.
Mes dalijamės (Ct + 1) 100 už eksponentinę funkciją, siekiant pašalinti kapitalo poveikį. Tokiu būdu kablelį perkeliame dviem vietomis į priekį. Taigi šis poveikis matomas tolesniuose rezultatų stulpeliuose.
Rezultatai:
| Formulė | Nuolatinis jungimas | Eksponentinė funkcija |
| Periodiškumas (p) arba (n) | Ct + 1 | Ct + 1/100 |
| 1 | 200 | 2 |
| 2 | 225 | 2,25 |
| 50 | 269,1588029 | 2,691588029 |
| 100.000 | 271,8268237 | 2,718268237 |
| 10.000.000 | 271,8281694 | 2,718281694 |
| 1.000.000.000 | 271,8282031 | 2,718282031 |
Kai n arba p linkę į begalybę, šiuo atveju nuo 10 000 000, galime pamatyti, kad reikšmės sutampa su konkrečiu skaičiumi. Nuolatiniam jungimui jis yra 271,8281, o eksponentinei funkcijai - 2,718281. Abi serijos susilieja ir.
Atsakymas į pratimą išspręstas
Taigi, kokią alternatyvą Amerikos investuotojas galų gale pasirinks, jei iš daugelio periodiškumų t + 1 (Ct + 1) prekystaliai tam tikra verte?
- Jei šis investuotojas kapitalą traktuoja kaip diskretų kintamąjį, jis pasirinks alternatyvą D. Kadangi iš C alternatyvos kapitalas t + 1 (Ct + 1) konverguoja iki 271 mln.
- Jei šis investuotojas kapitalą traktuoja kaip nuolatinį kintamąjį, jis pasirinks alternatyvą su daugiau periodiškumo. Šiuo atveju alternatyva F. Net jei galų gale ji sutampa su verte, investuotojas atsižvelgia į visus dešimtainius skaičius.
Ši konvergencija reiškia, kad kapitalas yra t + 1 (Ct + 1), apskaičiuota naudojant tęstinio jungimo formulę arba eksponentinę funkciją, seka mažėjančią ribinę grąžą. Kitaip tariant, (C.t + 1) galima išreikšti kaip logaritminę funkciją.
Schematiškai:
- Periodiškumas = eksponentinė funkcija.
- Sostinė iki t + 1 (Ct + 1) = logaritminė funkcija.
Grafinis vaizdavimas
Grafike galite pamatyti, kaip eksponentinė funkcija, kuri yra be galo ištisinė, auga daug greičiau nei ribotas ištisinis didžiųjų raidžių rašymas. Kalbėdami apie nenutrūkstamą didžiųjų raidžių rašymą, mes kalbame apie sudėtinę didžiųjų raidžių rūšį, tačiau su didesniu periodiškumu, nes praktiškai neįmanoma be galo didelių interesų. Aš turiu omenyje, kad negalime išnaudoti kiekvienos sekundės.