Tiesinė matricų transformacija
Matricų tiesinė transformacija yra linijinės operacijos per matricas, modifikuojančias pradinį duoto vektoriaus matmenį.
Kitaip tariant, mes galime modifikuoti vektoriaus matmenį padauginę jį iš bet kurios matricos.
Tiesinės transformacijos yra matricos vektorių ir savinių verčių pagrindas, nes jos linijiškai priklauso viena nuo kitos.
Rekomenduojami straipsniai: operacijos su matricomis, vektoriais ir savinėmis reikšmėmis.
Matematiškai
Apibrėžiame matricąC bet kuris iš 3 × 2 matmenų padaugintas iš matmens vektoriaus Vn = 2 toks, kad V = (v1, v2).
Kokio matmens bus rezultato vektorius?
Vektorius, gaunamas iš matricos sandaugosC3×2su vektoriuV2×1bus naujas 3 matmens V 'vektorius.
Šis vektoriaus matmens pokytis atsiranda dėl linijinės transformacijos per matricą C.
Praktinis pavyzdys
Atsižvelgiant į kvadratinę matricąR kurio matmuo 2 × 2 ir vektoriusV 2 matmens.
Linijinė vektoriaus matmens transformacijaV tai yra:
kur pradinis vektoriaus matmuo V buvo 2 × 1, o dabar galutinis vektoriaus matmuo Tu matai3 × 1. Šis matmenų pokytis pasiekiamas padauginus matricą R.
Ar šias linijines transformacijas galima pavaizduoti grafiškai? Na žinoma!
Rezultatų vektorių V 'atvaizduosime plokštumoje.
Tada:
V = (2,1)
V ’= (6,4)
Grafiškai
Atskirieji vektoriai, naudojant grafinį vaizdą
Kaip galime nustatyti, kad vektorius yra tam tikros matricos savivektorius, vien žiūrėdamas į grafiką?
Apibrėžiame matricąD 2 × 2 matmens:
Ar vektoriai yra v1= (1,0) ir v2= (2,4) matricos savieji vektoriai D?
Procesas
1. Pradėkime nuo pirmojo vektoriaus v1. Mes atliekame ankstesnę tiesinę transformaciją:
Taigi, jei vektorius v1 yra matricos savivektorius D, gautas vektorius v1"Ir vektorius v1jie turėtų priklausyti tai pačiai linijai.
Mes atstovaujame v1 = (1,0) ir v1’ = (3,0).
Kadangi abu v1kaip V1’Priklauso tai pačiai linijai, t1 yra matricos savivektorius D.
Matematiškai yra konstantah(savoji vertė) tokia:
2. Tęsiame antrąjį vektorių v2. Mes pakartojame ankstesnę linijinę transformaciją:
Taigi, jei vektorius v2 yra matricos savivektorius D, gautas vektorius v2"Ir vektorius v2 jie turėtų priklausyti tai pačiai linijai (kaip ir aukščiau pateiktas grafikas).
Mes atstovaujame v2 = (2,4) ir t2’ = (2,24).
Kadangi v2 ir V2’Nepriklausyk tai pačiai linijai, t2 nėra matricos savivektorius D.
Matematiškai nėra pastovaush(savoji vertė) tokia:
