Fraktalinė geometrija yra ta geometrijos šaka, tirianti fraktalus. Tai yra sudėtingi objektai, kurių struktūra kartojasi, kai stebime ją skirtingais mastais.
Fraktalai, kitaip tariant, susideda iš dalių, kurios yra panašios į visumą ir yra netaisyklingos struktūros. Pagalvokime apie brokolio galvutę, kurią suskaldžius ji padalijama į kelis mažesnius brokolius.
Fraktalinė geometrija gimė dėl poreikio geriau priartėti prie realybės, nes plokštumos geometrija ir kosmoso tyrimo figūrų ir kūnų geometrija, kurią labai mažai randame gamtoje.
Apsvarstykite, kad kalnai nėra kūgiai ir kad net Egipto piramidės, jei atidžiai į jas žiūrėsime, turės savo paviršiuje tam tikrų nelygumų. Šie trūkumai vadinami šiurkštumo kokybe, ir tai yra savybė, pridedanti fraktalų geometriją objektams, kurie nebeturi tik perimetro, ploto ir tūrio.
Fraktalų geometrijos kilmė
Fraktalinės geometrijos atsiradimo pradininkas yra matematikas Benoitas Mandelbrotas, taip pat didžiausias jo literatūrinis darbas: „Fraktalinė gamtos geometrija“, išleista 1982 m.
Žodis fraktalas kilęs iš lotyniško žodžio „fractus“, kuris reiškia sulaužytą ar sulaužytą, ir Mandelbrotas sugalvojo 1975 m.
Verta paminėti, kad nors Mandelbrotas ir formalizavo fraktalinės ekonomikos studijas, jis nebuvo pirmasis, kuris pastebėjo fraktalų egzistavimą gamtoje. Pavyzdžiui, jei pažvelgsime į žinomo japonų tapytojo Katsushika Hokusai kūrybą, pamatysime, kad ta sąvoka taikoma (ir pats Mandelbrotas paminėjo ją viename interviu). Pavyzdžiui, paveiksle „Didžioji banga“ stebime, kaip bangos viduje yra kitų mažesnių bangų.
Fraktalo charakteristikos
Pagrindinės fraktalo savybės yra šios:
- Panašumas į save: Tai reiškia tai, ką jau minėjome anksčiau. Jei pažvelgsime į fraktalo dalį didesniu mastu (atidžiau), ji atrodys taip pat, kaip ir visas objektas. Tai yra, dalis yra panaši į visumą, nors tai ne visada yra teisinga. Pavyzdžiui, įsivaizduokime rombą, sudarytą iš daugybės mažų rombų. Nors šių rombų dydis šiek tiek skiriasi, tai būtų fraktalas.
- Fraktalo matmuo nėra lygus topologiniam matmeniui: Norėdami paaiškinti topologinį matmenį, įsivaizduokime, kad turime plokštumą, padalytą į tinklelius, pavyzdžiui, tinklelį. Taigi nubrėžiu liniją, einančią per 2 tinklelius. Jei visus tinklo tinklelius padalinčiau į dvi dalis, linija eitų per 4 tinklelius. Tai yra, jis padauginamas iš 2, kuris yra lygus redukcijos koeficientui (2), pakeltam iki 1 (2 = 21), kuris vertas pertekliaus, yra linijos matmenų skaičius. Dabar, jei turime daugiakampį, dvimatę figūrą, nutinka kažkas panašaus. Pavyzdžiui, jei turime kvadratą, kuris apima keturis tinklelius, ir vėl pritaikysime mažinimo koeficientą 2, kvadratas bus 16 tinklelių. Tai reiškia, kad tinklelių (4) skaičius padauginamas iš 4, o tai 2 pakeliama iki 2 (2 = 22), rodiklis yra matmenų skaičius kvadratu. Tačiau visa tai, kas pasakyta, netinka fraktalams.
- Jie niekuomet nėra išskiriami: Matematiškai tai reiškia, kad pavaizduotos funkcijos išvestinės negalima apskaičiuoti. Vaizdine prasme tai reiškia, kad grafikas nėra tęstinis, bet turi smailes, todėl neįmanoma padaryti išvedimo.
Fraktalų geometrijos taikymas
Fraktalų geometrija gali būti taikoma įvairiuose laukuose. Pavyzdžiui, 1940 m. Lewisas Fry'as Richardsonas pastebėjo, kad įvairios sienos tarp šalies ir šalies keičiasi priklausomai nuo matavimo masto. Tai yra, jei matuosime geografinį kontūrą, rezultatas skirsis priklausomai nuo naudojamo liniuotės ilgio. Tai buvo nuoroda į Mandelbrot 1967 m. Straipsnyje, paskelbtame žurnale "Science": "Kaip ilgai yra Didžiosios Britanijos pakrantė?"
Tai galima paaiškinti, jei atsižvelgsime į tai, kad geografinės teritorijos yra fraktalai, ir, matydami juos didesniu mastu, matome daugiau pažeidimų.
Kitas fraktalinės geometrijos taikymas yra seisminių judesių ir judėjimo vertybinių popierių rinkoje analizė.
Be to, turime pripažinti, kad fraktalai įkvėpė menininkus, tokius kaip minėtas Hokusa, taip pat turime Jacksono Pollocko atvejį.