Darmois'o teorema yra teorema, leidžianti surasti parametro parameter statistiką T, kurios savybė yra pakankama.
Dar paprastesniais žodžiais, tai leidžia rasti pakankamos statistikos matematinę išraišką, jei tokia yra.
Atsižvelgdami į Fišerio ir Neymano faktoringo kriterijų, galime apsvarstyti. Fišerio ir Neymano faktoringo kriterijus naudojamas ir norint patikrinti, ar statistika atitinka pakankamos savybės, ir rasti pakankamos statistikos matematinę išraišką (jei ji yra). Priešingai, Darmois'o teorema leidžia rasti tik pakankamos statistikos matematinę išraišką (jei ji yra).
Tarkime, nors Fisherio-Neymano faktoringo kriterijus juda į priekį (paieška) ir atgal (patikrinimas), Darmois teorema juda tik į priekį (paieška).
Darmois teoremos formulė
Teoriškai jis išreiškiamas, gaunant paprastą atsitiktinio kintamojo X atsitiktinę imtį su tankio funkcija f (x; θ) su θ ∈ Ω. Jei ši funkcija priklauso eksponentinei šeimai, tai yra, ją galima išreikšti taip:
f (x; θ) = β (θ) × b (x) × e (a (x) × α (θ)
Tada statistika T = T (x1,…, xn) = Σ a (x)
Skaičiavimams palengvinti paprastai atliekamas logaritminis žymėjimas:
lnf (x; θ) = lnβ (θ) + lnb (x) + (a (x) × α (θ))
Žinoma, sunku suprasti visą šį matematinį žymėjimą. Pasirodo daug nežinomųjų, daug raidžių, daug operatorių. Apibrėžkime jį iškalbingais žodžiais. Šiuo tikslu pradėsime nuo teorinio apibrėžimo, taikomo pavyzdžiui:
Tarkime, atsitiktinė 50 vaikų imtis (paprasta atsitiktinė imtis), kurių klausiame, kiek pinigų jie išleidžia per savaitę saldumynams (atsitiktinis kintamasis X) su tam tikra tankio funkcija (žr. Tankio funkciją). Taigi, jei ši tankio funkcija, mes galime tai išreikšti taip:
Nustatysime, kad pakankama statistika yra išraiškos a (x) suma
Formulės dalys apibrėžiamos taip:
- lnβ (θ): Tai funkcija, kuri priklauso tik nuo parametro (mūsų atveju vidurkis)
- lnb (x): Tai funkcija, kuri priklauso tik nuo atsitiktinio kintamojo X
- a (x): Tai funkcija, kuri priklauso tik nuo X ir daugina α (θ)
- α (θ): Tai funkcija, kuri priklauso tik nuo parametro (mūsų atveju vidurkis)
Darmois'o teorema praktikoje
Nors visi turime galimybių ir įrankių atrasti naują statistiką, tai retai būna įprasta. Kitaip tariant, ekonomikos profesoriai ir šios srities ekspertai atlieka tyrimus šiomis temomis.
Asmeniškai sunku rasti žmogų, atsidavusį tokio tipo tyrimams. Taigi praktiškai šioje teoremoje svarbu suprasti, iš kur gaunama ši mūsų naudojama statistika.
Pavyzdžiui, norėdamas sužinoti, kad vidurkis yra pakankama statistika, jis tikriausiai naudojo šį procesą.