Cramér-Rao riba (CCR) yra mažiausias dispersija, kurią, atsižvelgiant į taisyklingumo sąlygas, vieno parametro įvertintojas gali pasiekti.
Kitaip tariant, mes ieškome dispersijos, kuri yra arčiausiai šios apatinės ribos, kad rastume geriausią vertintoją pagal nešališkumo ir efektyvumo savybes.
Rekomenduojama perskaityti įverčių savybes
Šios savybės yra naudojamos, kai turime pasirinkti įvertiklį, kad atliktume ekonometrinę analizę. Jei norime, kad mūsų rezultatai būtų bent jau įtikinami, turėsime reikalauti, kad vertintojas būtų objektyvus ir kad jis turėtų kuo mažesnį dispersiją iš visų nešališkų vertintojų (efektyvumas).
Nors mes atsižvelgiame į visus nešališkus vertintojus, ieškodami minimalaus dispersijos įverčio, gali atsitikti taip, kad yra dar vienas nešališkas įvertintojas, kurio dispersija yra mažesnė.
Kad nė vienas nešališkas vertintojas, turintis minimalų dispersiją, neišvengtų mūsų, nustatome minimalią arba apatinę ribą, kurios parametro nešališko įvertintojo dispersija negali viršyti.
Mes žiūrime tik į nešališkus vertintojus, nes šališki vertintojai gali turėti mažiau skirtumų nei CCR.
Formulavimas
Mes apibrėžiame:
f (X; Θ): tikimybės tankio funkcija.
E (·): matematinė viltis.
Aš (Θ): Fisher informacija apie parametrą.
Atitinka „informacijos kiekį“ apie parametro, esančio stebint atsitiktinį kintamąjį X, vertę.
Formulė:
Nepanikuoju! Ką galime pamatyti iš pirmo žvilgsnio iš šios formulės?
- Matome, kad tai yra ne griežta nelygybė (≥), o ne lygybė (=). Taip yra todėl, kad kai kuriais atvejais mes nerandame (neegzistuoja) nešališko įvertintojo, kuris pasiektų CCR ribą. Todėl mes sakome, kad mes ieškome objektyvaus skaičiuotojo dispersijos, kuri būtų kuo artimesnė šiai apatinei ribai. Be to, CCR mums nurodo, koks bus mažiausias įvertiklio dispersija, žemiau šio skaičiaus jo negalima rasti.
- Dešinėje (var (Θ ’) esanti dalis yra mūsų parametro įverčio dispersija.
- Dalis kairėje (1 / J (Θ)) yra neįveikiamas dispersijos minimumas.
- Jei ieškome (absoliutaus) minimum įverčio dispersijos minimumo, logiška, kad atsiranda daliniai dariniai (išvestinė respect atžvilgiu).
- Ekonomikoje daliniai dariniai naudojami pirmosios ir antrosios eilės sąlygomis, siekiant optimizuoti naudingumo funkcijas: suraskite atitinkamai santykinius ir absoliučius maksimumus ir minimumus.
- CCR naudoja tikimybės tankio funkcijos f (X; Θ) pirmąjį dalinį parametro iv išvestį.
- Kad būtų lengviau apskaičiuoti, kai kuriais atvejais CCR gauti naudojama antroji išvestinė ir alternatyvi informacija apie „Fisher“.
Įvertintojai, kurie, būdami nešališki, turi dispersiją, lygią CCR, tada bus laikomi efektyviausiais. Panašiai nešališki, kurių dispersija yra artimesnė, bus laikomi santykinai efektyvesniais nei kiti vertintojai (toliau).