Dviejų vektorių skaliarinis sandaugas pagal jo geometrinę apibrėžtį yra jų modulių daugyba iš abiejų vektorių suformuoto kampo kosinuso.
Kitaip tariant, dviejų vektorių taškų sandauga turi sudaryti abiejų vektorių modulių ir kampo kosinuso sandaugą.
Skaliarinė produkto formulė
Atsižvelgiant į du vektorius, taškinis produktas apskaičiuojamas taip:
Jis vadinamas skaliariniu sandaugu, nes modulio rezultatas visada bus skaliarinis, lygiai taip pat, kaip ir kampo kosinusas. Šio dauginimo rezultatas bus skaičius, išreiškiantis dydį ir neturintis krypties. Kitaip tariant, taško sandaugos rezultatas bus skaičius, o ne vektorius. Todėl gautą skaičių išreikšime kaip bet kurį skaičių, o ne kaip vektorių.
Norint sužinoti kiekvieno vektoriaus dydį, apskaičiuojamas modulis. Taigi, jei vieno iš vektorių (v) dydį padauginsime iš kito vektoriaus (a) dydžio iš kampo, kurį abu formuojame, kosinuso, žinosime, kiek iš viso matuoja abu vektoriai.
Vektoriaus modulis (v) ir kampo kosinusas taip pat žinomas kaip vektoriaus v projekcija į vektorių a.
Pažiūrėkite kitą būdą, kaip apskaičiuoti dviejų vektorių taškų sandaugą
Procesas
- Apskaičiuokite vektorių modulius.
Atsižvelgiant į bet kurį trijų matmenų vektorių,
Formulė vektoriaus moduliui apskaičiuoti yra:
Kiekvienas vektoriaus indeksas nurodo matmenis, šiuo atveju vektorius (a) yra trimatis vektorius, nes jis turi tris koordinates.
2. Apskaičiuokite kampo kosinusą.
Dviejų vektorių taškinio sandaugos pavyzdys
Apskaičiuokite šių trijų matmenų vektorių skaliarinį sandaugą, žinodami, kad jų formuojamas kampas yra 45 laipsniai.
Norėdami apskaičiuoti skaliarinį sandaugą, pirmiausia turime apskaičiuoti vektorių modulį:
Apskaičiavę dviejų vektorių modulius ir žinodami kampą, turime juos tik padauginti:
Todėl ankstesnių vektorių taškų sandauga yra 1,7320 vienetų.
Grafikas
Šie vektoriai atrodytų trimačiame grafike:
Vektoriui (c) matome, kad z komponentas yra lygus nuliui, todėl jis bus lygiagretus abscisės ašiai. Vietoj to, vektoriaus (b) z komponentas yra teigiamas, todėl galime pamatyti, kaip jis pasislenka į viršų. Abu vektoriai pagal komponentą yra teigiamų dalių kvadrante, nes jis yra teigiamas ir yra tas pats.