Gauso-Markovo teorema yra prielaidų rinkinys, kurį OLS (įprastų mažiausių kvadratų) įvertintojas turi įvykdyti, kad būtų laikomas ELIO („Optimal Linear Unbiased Estimator“). IRGauso-Markovo teoremą suformulavo Carlas Friederichas Gaussas ir Andrejus Markovas.
Carl Friederich Gauss ir Andréi Márkov nustatė keletą prielaidų, kad OLS vertintojas galėtų tapti ELIO.
Jei šios 5 prielaidos bus įvykdytos, galime patvirtinti, kad vertintojas yra tas, kurio visų linijinių ir nešališkų vertintojų dispersija yra mažiausia (tiksliausia). Tuo atveju, jei kuri nors iš pirmųjų trijų prielaidų žlunga (linijiškumas, Null vidutinis-griežtas egzogeniškumas arba nėra tobulo daugiakolineariškumo), OLS vertintojas nebėra objektyvus. Jei nepavyksta tik 4 ar 5 (Homoscedasticity ir No autocorrelation), vertintojas vis tiek yra tiesinis ir nešališkas, tačiau jis jau nėra pats tiksliausias. Apibendrinant galima pasakyti, kad Gauso-Markovo teorema teigia, kad:
- Remiantis 1, 2 ir 3 prielaidomis, OLS vertintojas yra tiesinis ir nešališkas. Dabar, kol nėra įvykdytos pirmosios trys prielaidos, galima užtikrinti, kad vertintojas būtų nešališkas. Kad įvertintojas būtų nuoseklus, turime turėti didelę imtį, tuo daugiau, tuo geriau.
- Remiantis 1, 2, 3, 4 ir 5 prielaidomis, OLS vertintojas yra tiesinis, nešališkas ir optimalus (ELIO).
Gauso-Markovo teoremos prielaidos
Konkrečiai, yra 5 prielaidos:
1. Linijinis modelis parametruose
Tai gana lanksti prielaida. Tai leidžia naudoti dominančių kintamųjų funkcijas.
2. Niekas niekingas ir griežtas egzogeniškumas
Tai reiškia, kad vidutinė klaidos, priklausančios nuo paaiškinimų, vertė yra lygi besąlygiškai laukiamai vertei ir lygi nuliui. Be to, griežtas egzogeniškumas reikalauja, kad modelio klaidos nebūtų koreliuojamos su jokiais pastebėjimais.
Nulinė reikšmė:
Griežtas egzogeniškumas:
Nieko vidutinis ir griežtas egzogeniškumas nepavyksta, jei:
- Modelis yra prastai nurodytas (pvz., Atitinkamų kintamųjų praleidimas).
- Kintamuosiuose yra matavimo klaidų (duomenys nebuvo peržiūrėti).
- Laiko eilutėse griežtas egzogeniškumas nepavyksta atidėtuose endogeniškumo modeliuose (nors egzistuoja ir šiuolaikinis egzogeniškumas) ir tais atvejais, kai yra grįžtamojo ryšio efektai.
Skerspjūvio duomenyse daug lengviau pasiekti prielaidą apie egzogeniškumą nei laiko eilučių atveju.
3. Nėra tikslaus daugiakolineariškumo
Imtyje nė vienas iš paaiškinamųjų kintamųjų nėra pastovus. Tarp aiškinamųjų kintamųjų nėra tikslių tiesinių ryšių. Tai neatmeta tam tikros (ne tobulos) koreliacijos tarp kintamųjų. Pasak Gauso ir Markovo, kai modelis turi tikslų multikolinearumą, tai dažniausiai būna dėl analitiko klaidos.
4. Homoscedastika
Klaidos, taigi ir Y, dispersija nepriklauso nuo paaiškinamųjų verčių ir, be to, nuo pastoviosios paklaidos dispersijos. Matematiškai jis išreiškiamas taip:
Čia pateikiama homoscedastinės išvaizdos duomenų serija.
5. Nėra autokoreliacijos
Dviejų skirtingų stebėjimų, priklausančių nuo X, klaidų terminai nėra susiję. Jei imtis yra atsitiktinė, autokoreliacijos nebus.
Kur aš turiu skirtis nuo h vertės. Jei imtis yra atsitiktinė, duomenys ir stebėjimo klaidos „i“ ir „h“ nepriklausys nuo bet kurios stebėjimo poros „i“ ir „h“.