Centrinės ribos teorema (TCL) yra statistinė teorija, teigianti, kad atsižvelgiant į pakankamai didelę atsitiktinę populiacijos imtį, imties vidurkis pasiskirstys pagal normalų pasiskirstymą.
Be to, TCL teigia, kad didėjant imties dydžiui, imties vidurkis artės prie populiacijos vidurkio. Todėl naudodamiesi TCL galime apibrėžti tam tikros populiacijos imties vidurkio pasiskirstymą su žinoma dispersija. Taigi, jei imties dydis bus pakankamai didelis, pasiskirstymas bus normalus.
Pagrindinės centrinės ribos teoremos savybės
Centrinės ribos teorema turi labai daug naudingų savybių statistikos ir tikimybių lauke. Pagrindiniai yra:
- Jei imties dydis yra pakankamai didelis, imties vidurkis pasiskirstys maždaug taip, kaip įprasta. TCL imtį laiko didele, kai jo dydis yra didesnis nei 30. Todėl, jei imtis yra didesnė nei 30, imties vidurkis turės beveik normalią skirstinio funkciją. Ir tai yra tiesa, nepriklausomai nuo paskirstymo formos, su kuria dirbame.
- Populiacijos vidurkis ir imties vidurkis bus vienodi. Tai reiškia, kad visų imties vidurkių pasiskirstymo vidurkis bus lygus visos populiacijos vidurkiui.
- Imties vidurkio pasiskirstymo dispersija bus σ² / n. Kuris yra populiacijos dispersija, padalyta iš imties dydžio.
Nepaprastai naudinga tai, kad mėginio vidinis pasiskirstymas yra panašus į įprastą. Kadangi normalų pasiskirstymą labai lengva pritaikyti hipotezių testams ir pasitikėjimo intervalų konstravimui. Statistikoje yra gana svarbu, kad pasiskirstymas yra normalus, nes daugeliui statistinių duomenų reikia tokio tipo paskirstymo. Be to, TCL leis mums daryti išvadą apie populiacijos vidurkį per imties vidurkį. Tai labai naudinga, kai dėl lėšų trūkumo negalime surinkti visų gyventojų duomenų.
Centrinės ribos teoremos pavyzdys
Įsivaizduokime, kad norime išanalizuoti istorinę vidutinę S&P 500 indekso grąžą, kurioje, kaip žinome, yra apie 500 įmonių. Tačiau mes neturime pakankamai informacijos, kad galėtume išanalizuoti visas 500 indekso įmonių. Šiuo atveju vidutinis „S&P 500“ pelningumas būtų gyventojų vidurkis.
Dabar, vadovaudamiesi TCL, analizei atlikti galime paimti šių 500 bendrovių pavyzdį. Vienintelis apribojimas, kurį turime, yra tai, kad atrankoje turi būti daugiau nei 30 įmonių, kad teorema būtų įvykdyta. Taigi įsivaizduokime, kad atsitiktinai išrenkame 50 bendrovių iš indekso ir kelis kartus pakartojame procesą. Pavyzdyje turėtų būti atlikti šie veiksmai:
- Mes pasirenkame maždaug 50 įmonių imtį ir gauname vidutinį visos imties pelningumą.
- Mes nuolat renkamės 50 bendrovių ir gauname vidutinį pelningumą.
- Visų pasirinktų imčių visų vidutinių grąžų pasiskirstymas bus apytiksliai normalus.
- Vidutinė visų pasirinktų imčių grąža bus apytikslė viso indekso vidutinė grąža. Kaip rodo centrinės ribos teorema.
Todėl, remdamiesi vidutine imties grąža, galime priartėti prie vidutinės indekso grąžos.