Įvykių sąjunga yra operacija, kurios rezultatas susideda iš visų nepakartojamų elementarių įvykių, kurie yra bendri, o ne bendri dviem ar daugiau rinkinių.
Tai yra, atsižvelgiant į du A ir B rinkinius, A ir B jungtis būtų suformuota iš visų nesikartojančių rinkinių, turinčių A ir B. Intuityviai A ir B įvykių susijungimo tikimybė reikštų atsakymą į klausimas: kokia tikimybė, kad A išeis arba kad B išeis?
Įvykių sąjungos simbolis yra U. Tokiu būdu, kad jei norime matematiškai pastebėti dviejų įvykių B ir D susijungimą, tai pastebėtume taip: B U D.
Renginių sąjungos apibendrinimas
Iki šiol matėme ir nurodėme dviejų įvykių sąjungą. Pavyzdžiui, A U B ar B U D. Bet ką daryti, jei turime tris, keturis ir net šimtą įvykių?
Tai mes vadiname apibendrinimu, tai yra, formule, kuri šiais atvejais padeda pastebėti įvykių veikimo sąjungą. Jei turime 8 įvykius, užuot rašę dešimt įvykių, naudosime šį užrašą:
Užuot pavadinę kiekvieną įvykį A, B ar bet kuria raide, mes skambinsime Taip. S yra įvykis, o indeksas i nurodo skaičių. Taip, kad 10 įvykių pavyzdyje mes taikytume šiuos dalykus:
Tai, ką mes padarėme, yra pritaikyti ankstesnį užrašą ir jį išplėtoti. Dabar mums to nereikės visada. Ypač, kai kalbama apie daugybę renginių.
Nesusijusių ir nesusijusių įvykių sąjunga
Nesusijusių įvykių sąvoka rodo, kad du įvykiai neturi bendrų elementų.
Kai jie nesusiję, renginių sąjungos veikla yra paprasta. Norėdami gauti tikimybę, kad įvyksta vienas ar kitas įvykis, turite pridėti tik jų tikimybę. Tačiau kai įvykiai nėra nesusiję, reikia pridėti nedidelę detalę. Pasikartojantys elementai turi būti pašalinti. Pavyzdžiui:
Tarkime, kad rezultatų erdvė eina nuo 1 iki 5. Įvykiai yra šie:
Įvykis A: (1,2,4) -> 60% tikimybė = 0,6
B įvykis: (1,4,5) -> 60% tikimybė = 0,6
Operacija A U B intuityviai reikštų A ir B įvykių pridėjimą, tačiau jei tai padarysime, tikimybė būtų 1,2 (0,6 + 0,6). O kaip rodo tikimybės aksiomos, tikimybė visada turi būti nuo 0 iki 1. Kaip ją išspręsti? Atimkite įvykių A ir B sankirtą, ty pašalinkite pasikartojančius elementus:
A + B = (1,1,2,4,4,5)
A ∩ B = (1,4)
A U B = A + B - (A ∩ B) = (1,2,4,5)
Kalbėdami apie tikimybes, turėtume:
P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A ∩ B) = 0,6 +0,6 - 0,4 = 0,8 (80%)
Iš tiesų, tikimybė, kad atsiras 1, 2, 4 arba 5. Darant prielaidą, kad visi skaičiai turi vienodą tikimybę, yra 80%.
Grafiškai tai atrodytų taip:
Renginio sąjungos ypatybės
Įvykių sąjunga yra matematinių operacijų rūšis. Kai kurie operacijų tipai taip pat yra sudėjimas, atimimas, dauginimas. Kiekvienas iš jų turi keletą savybių. Pavyzdžiui, mes žinome, kad pridedant 3 + 4 rezultatas yra visiškai toks pat, kaip pridedant 4 +3. Šiuo metu renginių sąjunga turi keletą savybių, kurias verta žinoti:
- Komutacinis: Tai reiškia, kad rašymo tvarka nekeičia rezultato. Pavyzdžiui:
- A U B = B U A
- C U D = D U C
- Asociatyvus: Darant prielaidą, kad yra trys įvykiai, mums nesvarbu, kurį pirmiausia atlikti, o kurį - toliau. Pavyzdžiui:
- (A U B) U C = A U (B U C)
- (A U C) U B = (A U B) U C
- Skirstomasis: Kai įtraukiame sankryžos tipo operaciją, pasiskirstymo savybė galioja. Tiesiog pažiūrėkite į šį pavyzdį:
- A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C)
Renginio sąjungos pavyzdys
Paprastas dviejų įvykių A ir B sujungimo pavyzdys būtų toks. Tarkime, tobulo štangos metimo atvejis. Štampas, turintis šešis veidus, sunumeruotus nuo 1 iki 6. Taip, kad įvykiai būtų apibrėžti žemiau:
Į: Tai yra didesnė nei 2. (3,4,5,6) tikimybė yra 4/6 => P (A) = 0,67
C: Tegul išeina penki. (5) tikimybė yra 1/6 => P (C) = 0,17
Kokia A U C tikimybė?
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C)
Kadangi P (A) ir P (C) jį jau turi, mes apskaičiuosime P (A ∩ C)
A ∩ C = (5) tikimybėmis P (A ∩ C) = 1/6 = 0,17
Galutinis rezultatas yra:
P (A U C) = P (A) + P (C) - P (A ∩ C) = 0,67 + 0,17 - 0,17 = 0,67 (67%)
Tikimybė, kad jis riedės daugiau nei 2 arba riedės 5, yra 67%.